보통 초등학교에서 수학 포기자가 생기는 시기는 5학년이라고 한다. 이 시기 아이들은 분수를 가장 어려워한다. 분수의 개념은 초등학교 3학년 때 처음 등장하는데 이때부터 정확하게 분수에 대해 알아가야 고학년이 되어 분수 때문에 수학을 포기하는 초등학생이 되지 않을 수 있다. 분수를 어떻게 공부하면 좋을지 살펴보자.
분수의 정의
위키백과를 찾아보면 분수는 전체의 일부를 말하며 정수 a를 0이 아닌 정수 b로 나눈 몫을 a/b의 형식으로 나타낸 것이다. 이를 쉽게 이전에 배운 사칙연산과 연결 지어 생각해 보면 분수는 나눗셈과 곱셈이 순서대로 결합한 것이다.
예를 들어 2/3면 전체를 3으로 나눈 것(1/3)이 2개 있다(1/3+1/3)는 뜻으로 '전체÷3×2'를 의미한다.
분수를 구성하고 있는 분모는 우리가 어떠한 유형의 부분을 세는지 또는 전체를 몇 등분했는지 알려주고, 분자는 등분한 부분이 몇 개인지는 나타낸다. 처음 분수의 분모, 분자라는 용어만 접해도 헷갈려하는 경우가 많다. 이때 한자를 이용하면 쉽게 연상이 가능해진다. 분모는 한자로 쓰면 分母이고, 분자는 分子이다. 한자의 뜻을 활용하여 엄마(母)가 아래에 있으며 아들(子)을 업어주고 있는 거라는 설명을 덧붙이면 아이가 분자 분모의 위치를 더욱 쉽게 기억할 수 있다.
아이에게 분수를 쉽게 알려주는 방법
나누기의 개념과 묶어서 생각한다
분수는 정의에서도 알 수 있듯이 나눗셈과 아주 밀접하다. 우리는 분수 덕분에 작은 수를 큰 수로 나눌 수 있다. 분수는 나눗셈의 결과이며 분자는 나누어지는 수(피제수), 분모는 나누는 수(제수)인 것이다.
분자(나누어지는 수) / 분모 (나누는 수) 예시 : 2/3 = 2÷3
여러 형태로 분수를 만들어본다
여러 형태의 묶음과 도형을 활용해서 분수를 만드는 연습을 하는 것은 매우 중요하다. 기본적으로 피자나 케이크를 가지고 연습하는 경우가 많다. 예를 들어 2/3라면, 피자를 3 등분했을 때 3 등분한 피자의 2조각과 같다는 식이다. 이 개념이 충분히 이해가 되었다면 다른 도형이나 수의 개념을 넣어 다양하게 분수를 만들어 보는 연습을 반드시 해야 한다.
(예시) 2/3 : 연필 15자루를 3 등분하면 1묶음에 5자루이고, 이 중 2묶음은 5X2=10 이므로 10자루가 된다. (심화 예시) 1/3 : 직사각형 2개의 1/3을 그림으로 나타내본다. (심화 예시) 부분에서 전체 구하기 : 한 교실의 2/3가 10명이라면 그 학급의 학생은 모두 몇 명인가? 1단계 : 총학생의 2/3가 10명이라면 총학생의 1/3은 5명이다. 2단계 : 학생수의 1/3이 5명이라면 전체학생수는 15명이다.
분수의 곱셈과 나눗셈
분수는 사칙연산중 곱셈과 나눗셈을 먼저 공부한다. 분수 자체가 나눗셈의 개념이 들어 있으므로 핵심만 알고 유형을 연습하면 쉬워진다.
분수와 정수를 곱할 때는 분자에 그 정수를 곱한다. 예시 : 2/3 × 2 = 2/3 × 2/1 = 4/3 분수를 정수로 나눌 때는 분모에 그 정수를 곱한다. 예시 : 2/3 ÷ 4 = 2/3 × 1/4 = 2/12 두 분수를 곱할 때는 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다. 곱셈을 하기 전에 약분을 하면 수고로움을 덜 수 있다. 분수의 나눗셈은 한마디로 그 분수의 역수를 곱하는 것이다. 예시 : 2/3 ÷ 5/8 = 2/3 × 8/5
동치 분수
분모와 분자가 다르지만 크기가 같은 분수를 말한다. 분자, 분모에 똑같은 정수를 곱하거나 나누어도 그 크기는 같다.
예시 : 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8
동치 분수의 개념은 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 때 공통분모를 만드는 과정에서 꼭 필요하니 짚어주어야 한다.
약분
약분은 분자와 분모를 똑같은 수로 나누는 것이다. 약분을 하기 위해서는 약수에 대해 알아야 한다.
약수 : 나누어 떨어지는 수이다. 1과 자기 자신을 반드시 포함된다. 기약분수 : 분자와 분모 사이에 공통되는 약수가 1 뿐이라 더 이상 약분되지 않는 분수를 말한다.
예를 들어 4/6는 분자, 분모를 공통되는 약수 2로 나눌 수가 있다. 즉, 4/6을 2로 약분하면 2/3이 된다. 약분하여 나온 2/3은 1 이외에는 더 이상 약분되지 않으므로 기약분수이다.
분수의 덧셈과 뺄셈
초등학생들이 가장 힘들어하는 것이 바로 이 분수의 덧셈과 뺄셈이다. 분수는 실제로 나눗셈이기 때문에 분수를 더하고 빼는 일은 나눗셈과 덧셈, 나눗셈과 뺄셈 두 가지 연산을 한꺼번에 해야 하는 일이라 어려운 것이다.
분모가 서로 다른 분수의 덧셈과 뺄셈
분수의 덧셈에서 중요한 것은 바로 공통분모의 개념이다. 공통분모는 공통언어라고 설명하면 조금은 수월해진다. 분모가 동일해야 서로 말이 통하는 것이다. 분수의 분모를 동일하게 만들려면 공배수를 찾아야 한다.
공배수 : 둘 이상의 수의 공통인 배수를 말한다. 배수 : 어떤 수를 1배, 2배, 3배 한 수를 배수라 한다.
예를 들면 6은 2의 배수이자, 3의 배수이므로 분모가 2인 1/2와 분모가 3인 1/3의 공통분모는 6이 될 수 있다. 1/2+1/3은 분모가 다르기 때문에 바로 더할 수 없다. 3/6+2/6으로 바꾸어 공통분모로 만들면 분모가 같아 더할 수 있게 되고 5/6이라는 답을 도출할 수 있다.
분모끼리의 곱은 항상 분모의 공배수가 된다. 즉, 공통분모가 된다.
뺄셈도 덧셈과 동일하게 공통분모로 바꾸고 계산하면 된다.
최소공배수
분모의 공배수 중 가장 작은 수를 최소공배수라고 한다. 이 최소공배수의 개념을 알면 분수의 연산이 훨씬 단순해진다. 수학에서 간단하고 단순하게 계산하는 것은 실수를 줄일 수 있고 시간을 절약할 수 있으므로 반드시 알아야 한다. 공통분모 찾는 일이 익숙해졌을 때 최소공배수를 배워 적용하면 혼란을 덜 수 있다.
최소공배수 찾는 방법 (예시 : 4와 6의 최소 공배수) 1. 4의 배수 : 4,8,12.16.20,24,28..... 2. 6의 배수 : 6,12,18,24,30...... 3. 4와 6의 최소공배수: 12 4와 6의 곱은 24로 24고 공통분모가 될 수 있지만 둘의 배수를 열거하여 공통이 되는 최소공배수는 12 임을 알 수 있다.
분수의 종류
가분수와 진분수
가분수는 분자와 분모가 같거나 분자가 분모보다 큰 분수를 말한다. 2/2, 8/5,3/2 등이 그것이다. 진분수는 반대로 분자가 분모보다 작은 분수를 말한다. 1/2, 2/3 등을 말한다.
가분수를 왜 쓰나요
아이가 가분수 진분수 용어 자체를 어려워한다면 다음을 설명해 주는 것도 좋다. 분수의 의미 자체가 전체의 일부분(작은 부분)을 말한다. 일부분이 전체에서 차지하는 비율을 이야기하는 것이기 때문에 분자가 분모와 같거나 분자가 분모보다 큰 가분수는 맥락적으로 분수의 의미를 벗어난 것이다. 그래서 가짜 분수(假分數)라고 한자 표기가 된다. 이와 반대로 분자가 분모보다 작은 분수가 진짜 분수, 진분수(眞分數)가 되는 것이다.
가분수와 대분수
가분수는 자연수와 진분수의 합으로 나타낼 수 있는데 자연수 옆에 진부수를 쓰는 방식으로 표현한 것이 바로 대분수이다.
사실 가분수는 굳이 대분수로 바꾸지 않고 그대로 두어도 되지만 자연수 사이에서 크기를 비교할 때에는 대분수의 형태가 편하기 때문에 가분수-대분수 사이에 변환하는 것에 대해 배운다.
가분수를 대분수로 바꾸기 위해서는 분자를 분모로 나누면 된다. 예를 들어 11/2를 대분수로 바꾸려면 11÷2를 계산한다. 몫이 5이고 나머지가 1이 되므로 자연수 5와 1/2를 나란히 적으면 대분수의 형태가 되는 것이다. 대분수를 가분수로 바꾸기 위해서는 공통분모의 개념을 적용하면 된다. 예를 들어 5와 1/2라면 5를 10/2로 공통분모 2를 사용하여 바꾸고 10/2+1/2=11/2로 계산할 수 있다.
분수는 최대한 여러 가지 유형으로 직관적으로 그 의미를 익히고 연산연습을 충분히 해주어야 한다. 연산도 최대한 분수의 의미에서 파생하여 맥락이 있게 설명해 주면 쉽게 접근할 수 있다.
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